TÌM MA TRẬN PHỤ HỢP

      14

Bài viết này thangvi.com reviews đến bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm những ví dụ và phân loại các dạng toán từ bỏ cơ phiên bản đến cải thiện về hạng của ma trận:

*

Định nghĩa hạng của ma trận

Xét ma trận $A=(a_ij)_m imes n.$ Đặt $A_i^d = (a_i1,a_i2,...,a_in);A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_nj endarray ight).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ chiếc $left A_1^d,A_2^d,..,A_m^d ight$ cùng cũng chính là hạng của hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$ Được kí hiệu là $r(A).$

Định thức con của ma trận và quan hệ với hạng của ma trận

1. Tra cứu hạng của ma trận mang lại trước

Để kiếm tìm hạng của ma trận mang lại trước ta có thể sử dụng phép chuyển đổi Gauss hoặc sử dụng định thức phủ quanh (định thức con chính cấp k của ma trận). Thuộc xem những ví dụ sau:

Câu 1:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

Giải.

Bạn đang xem: Tìm ma trận phụ hợp

Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl - 2d_1 + d_2 \ - 3d_1 + d_3 \ - 2d_1 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&2&3& - 7&5 \ 0&3& - 2& - 4&0 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)=3.$

Câu 2:Cho $x,y,z$ là bố nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ kiếm tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z \ y&z&x \ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và

Do kia $r(A)le 2.$ mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 0&3& - 1 \ - 2&4&2 \ 2&5&7 endarray ight).$

Giải.Ta có:

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 \ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&3&0 \ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp 4 bao bọc định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$

Câu 5:Tìm hạng của ma trận bằng phương thức định thức bao quanh.

Giải.

Ta xét các định thức cung cấp 5 bao quanh định thức cấp 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight).$

Giải.Ta có

<egingathered A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight)xrightarrow - d_i + d_i + 1(i = 1,2,...,n - 1)left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 1&1&1&...&1 \ 1&1&1&...&1 \ ...&...&...&...&... \ 1&1&1&...&1 endarray ight) hfill \ xrightarrow - d_i + d_i + 1(i = 2,...,n - 1)left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 1&1&1&...&1 \ 0&0&0&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&0 endarray ight) Rightarrow r(A) = 2. hfill \ endgathered >

Câu 7:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&3&0 \ 2& - 1&1& - 1&4 \ 3&1&3&1&5 \ - 1&3& - 2&1& - 10 endarray ight).$

Giải.Có $D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2& - 1&3 \ 2& - 1&1& - 1 \ 3&1&3&1 \ - 1&3& - 2&1 endarray ight| = 45 e 0 Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8:Tìm hạng của ma trận sau$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Giải.Có thay đổi ma trận:

<egingathered A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfc_mathbfimathbf + mathbfc_mathbfi + 1mathbf,i = 1,2,...,n - 1left( eginarray*20c 1&1&...&1&1 \ n + 1&1&...&1&1 \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&1&...&1&1 \ n^2 - n + 1&1&...&1&1 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbfimathbf,i = 3,...,nleft( eginarray*20c 1&1&...&0&0 \ n + 1&1&...&0&0 \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&1&...&0&0 \ n^2 - n + 1&1&...&0&0 endarray ight) Rightarrow rank(A) = 2. hfill \ endgathered >

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN mang đến TRƯỚC

Tìm hạng của những ma trận sau:

a) $A = left( eginarray*20c 3&2&1 \ 1& - 1& - 3 \ 1&1&1 endarray ight);$

b) $A = left( eginarray*20c 2&3& - 1&4 \ 3& - 4&2& - 1 \ - 1&7& - 2& - 8 \ 4&6& - 1& - 5 endarray ight);$

c) $A = left( eginarray*20c 3& - 1&3&2&5 \ 5& - 3&2&3&4 \ 1& - 3& - 5&0& - 7 \ 7& - 5&1&4&1 endarray ight);$d) $A = left( eginarray*20c 1&3&5& - 1 \ 2& - 1& - 3&4 \ 5&1& - 1&7 \ 7&7&9&1 endarray ight);$
e) $A = left( eginarray*20c 25&31&17&43 \ 75&94&53&132 \ 75&94&54&134 \ 25&32&20&48 endarray ight);$f) $A = left( eginarray*20c 4&3& - 5&2&3 \ 8&6& - 7&4&2 \ 4&3& - 8&2&7 \ 4&3&1&2& - 5 \ 8&6& - 1&4& - 6 endarray ight).$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Tương từ bỏ như tìm hạng của ma trận mang đến trước ta có thể sử dụng phép chuyển đổi Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con chính cấp k của ma trận). Nếu như ma trận buộc phải biện luận hạng là một trong ma trận vuông ta hoàn toàn có thể biện luận hạng của nó theo định thức của ma trận đó. Thuộc xem những ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ dại nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma trận sau nhỏ tuổi nhất, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9:Biện luận hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 2&m& - 1&2&1 \ 1&1& - 1&m& - 1 \ 2&3& - 1&2&1 endarray ight).$

Giải.Biến đổi ma trận $A$

<egingathered A = left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 2&m& - 1&2&1 \ 1&1& - 1&m& - 1 \ 2&3& - 1&2&1 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 0&m + 2&1&0&3 \ 0&2&0&m - 1&0 \ 0&5&1&0&3 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbfdoi\_cho\_mathbfd_mathbf2mathbf& mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 0&5&1&0&3 \ 0&2&0&m - 1&0 \ 0&m + 2&1&0&3 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - dfracmathbf2mathbf5mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - dfracmathbfm + 2mathbf5mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&1&1& - 1&1 \ 0&5&1&0&3 \ 0&0& - dfrac25&m - 1& - dfrac65 \ 0&0&0&dfrac3 - m5&dfrac3left( 3 - m ight)5 endarray ight) hfill \ endgathered >

+ nếu như $m=3Rightarrow rleft( A ight)=3$

+ nếu như $m e 3Rightarrow rleft( A ight)=4$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ tuổi nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn gọi tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ gồm hạng bằng 2.

Xem thêm: Đăng Ký Gmail Theo Tên Miền Riêng Trên Google, Hướng Dẫn Tạo Email Google Theo Tên Miền Công Ty

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ gồm hạng bé nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ béo nhất.

Ví dụ 15:Tìm $a,b,c$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight)$ nhỏ nhất.

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 2&3& - 1&2b& - a&b - 2 \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0& - 7&1&c&2c - 1&2a endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3left( eginarray*20c 1& - 2&0&a + 1&b& - c \ 0&7& - 1& - 2a - 2 + 2b& - a - 2b&b - 2 + 2c \ 0&0&0& - 2a + 2b + c - 2& - a - 2b + 2c - 1&2a + b + 2c - 2 endarray ight). hfill \ endgathered $

Vậy $r(A)_min = 2 Leftrightarrow left{ egingathered - 2a + 2b + c - 2 = 0 hfill \ - a - 2b + 2c - 1 = 0 hfill \ 2a + b + 2c - 2 = 0 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered a = - dfrac19 hfill \ b = dfrac49 hfill \ c = dfrac89 hfill \ endgathered ight..$

Ví dụ 16:Cho những số thực dương $a,b$ thoả mãn $a+b>2$ và ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Giải.Đây là ma trận vuông vậy đầu tiên tính định thức của nó:

<egingathered det (A) = left| eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight| = left| eginarray*20c a + b + 2&a&1&b \ a + b + 2&1&b&1 \ a + b + 2&b&1&a \ a + b + 2&1&a&1 endarray ight|left( mathbfc_mathbf4mathbf + mathbfc_mathbf3mathbf + mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbf1 ight) \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 1&1&b&1 \ 1&b&1&a \ 1&1&a&1 endarray ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 0&1 - a&b - 1&1 - b \ 0&b - a&0&a - b \ 0&1 - a&a - 1&1 - b endarray ight| \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 1 - a&a - 1&1 - b endarray ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 0&a - b&0 endarray ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 ight) \ = (a + b + 2)(a - b)( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1 - a&1 - b \ b - a&a - b endarray ight| = (a + b + 2)(a - b)^2(a + b - 2). \ endgathered >

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) ví như $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) nếu $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 2$ cùng ma trận $A = left( eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight).$Biện luận theo $a,b$ hạng của ma trận $A.$

Đây là ma trận vuông vậy trước tiên tính định thức của nó:

<egingathered det (A) = left| eginarray*20c 1&a&1&b \ a&1&b&1 \ 1&b&1&a \ b&1&a&1 endarray ight| = left| eginarray*20c a + b + 2&a&1&b \ a + b + 2&1&b&1 \ a + b + 2&b&1&a \ a + b + 2&1&a&1 endarray ight|left( mathbfc_mathbf4mathbf + mathbfc_mathbf3mathbf + mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbf1 ight) \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 1&1&b&1 \ 1&b&1&a \ 1&1&a&1 endarray ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1&a&1&b \ 0&1 - a&b - 1&1 - b \ 0&b - a&0&a - b \ 0&1 - a&a - 1&1 - b endarray ight| \ = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 1 - a&a - 1&1 - b endarray ight| = (a + b + 2)left| eginarray*20c 1 - a&b - 1&1 - b \ b - a&0&a - b \ 0&a - b&0 endarray ight|left( mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 ight) \ = (a + b + 2)(a - b)( - 1)^3 + 2left| eginarray*20c 1 - a&1 - b \ b - a&a - b endarray ight| = (a + b + 2)(a - b)^2(a + b - 2). \ endgathered >

Do $a+b>2Rightarrow det (A)=0Leftrightarrow a=b.$

+) trường hợp $a e bRightarrow det (A) e 0Rightarrow r(A)=4.$

+) ví như $a = b Rightarrow a = b > 1 Rightarrow A = left( eginarray*20c 1&a&1&a \ a&1&a&1 \ 1&a&1&a \ a&1&a&1 endarray ight);D_12^12 = left| eginarray*20c 1&a \ a&1 endarray ight| = 1 - a^2 $r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài bác giảng tại đây:https://thangvi.com/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight).$ Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A.$

Giải.Ta có:

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&2&m&1 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ - 1&2&1&3 endarray ight)xrightarrowmathbfdoi\_cho\_mathbfd_mathbf1mathbf& mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ - 3&4&2&1 \ 4& - 3&2&1 \ 1&2&m&1 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf4mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&5&6&13 \ 0&4&m + 1&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf5mathbfd_mathbf2mathbf + 2mathbfd_mathbf3 \ mathbf2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&m - 1& - 12 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - (m - 1)mathbfd_mathbf3mathbf + 7mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c - 1&2&1&3 \ 0& - 2& - 1& - 8 \ 0&0&7& - 14 \ 0&0&0&14(m - 7) endarray ight). hfill \ endgathered $

+) nếu $m e 7Rightarrow r(A)=4Rightarrow r(A^*)=4;$

+) giả dụ $m=7Rightarrow r(A)=3=4-1Rightarrow r(A^*)=1.$

4. Dạng toán minh chứng về hạng của ma trận

Ta sử dụng các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là nhị ma trận thuộc cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận bất kì làm thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ với $A,B$ là nhị ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ tán đồng $A^2=E.$ chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ có $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng minh rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do kia $det (C)-(-1)^n$ chia hết đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ tất cả $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tra cứu hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Giải. Ta bao gồm $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Ví dụ 4: Cho hai ma trận $A,B$ vuông cùng cấp làm thế nào để cho $A^2=A,B^2=B$ với ma trận $E-A-B$ khả nghịch. Minh chứng rằng $r(A)=r(B).$

Giải. Do $E-A-B$ khả nghịch nên$left{ egingathered r(A) = r(A(E - A - B)) = r(A - A^2 - AB) = r( - AB) hfill \ r(B) = r((E - A - B)B) = r(B - AB - B^2) = r( - AB) hfill \ endgathered ight. Rightarrow r(A) = r(B).$

Ví dụ 5:Cho ma trận vuông $A$ vừa lòng $A^m=O.$ chứng tỏ rằng với đa số số nguyên dương $n$ ta luôn luôn có $r(A)=r(A+A^2+...+A^n).$

Giải.Xét các phương trình $AX=O(1);(A+A^2+...+A^n)X=O(2).$

Ta chỉ việc chứng minh (1) và (2) có cùng tập nghiệm, lúc ấy $r(A)=r(A+A^2+...+A^n)=p-r$ trong số đó $p$ là cấp cho của ma trận $A;$ với $r$ là số chiều không gian nghiệm của hai hệ phương trình.

+) nếu như $AX_0=ORightarrow (A+A^2+...+A^n)X_0=AX_0+A(AX_0)+...+A^n-1(AX_0)=O.$

+) ví như $(A+A^2+...+A^n)X_0=ORightarrow AX_0=-(A^2+...+A^n)X_0=-A^2(E+A+...+A^n-2)X_0=A^2BX_0,$ trong đó $B=-(E+A+...+A^n-2),AB=BA.$

Suy ra

Ta có điều buộc phải chứng minh.

Ví dụ 6:Cho $A$ là ma trận thực cấp cho $4 imes 2$ cùng $B$ là ma trận thực cung cấp $2 imes 4$ đống ý $AB = left( eginarray*20c 1&0& - 1&0 \ 0&1&0& - 1 \ - 1&0&1&0 \ 0& - 1&0&1 endarray ight).$ tìm kiếm ma trận $BA.$

5. Khảo sát điều tra hạng của hệ véctơ dựa vào hạng của ma trận

Hiện tại thangvi.com sản xuất 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 giành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và kiến thức và phương thức giải bài tập những dạng toán đi kèm theo mỗi bài xích học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng từ luận có lời giải cụ thể tại website sẽ giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong số trường gớm tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH mến Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH tài chính ĐH giang sơn Hà Nội

và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...